January 5th, 2017

krym

Непустая пустота или один миф о решении уравнений Эйнштейна

Во многих учебниках – у того же Вайнберга - можно прочитать, что метрику Шварцшильда, а, значит, и всю ньютоновскую динамику, можно получить как решение уравнений Эйнштейна для пустоты. Получается, что практически во всех важных случаях работает уравнение Эйнштейна для вакуума – и зачем тогда оно нужно в общем виде? Это всегда меня несколько озадачивало – потому что, да вокруг гравитирующего тела пустота (в смысле - нет гравитирующей материи), но наличие тела всегда учитывалось в решении. Получалась непустая пустота. Вот пришел в предыдущий пост человек и говорит: ваша метрика не удовлетворяет уравнениям Эйнштейна для пустоты. Я нашел в его расчетах одну мелкую ошибку, но задумался – и полагаю, что он делает еще одну и гораздо более серьезную методическую ошибку. Полагаю, что для строгого получения хоть метрики Шварцшильда, хоть закона Ньютона, непременно нужно использовать полное уравнение Эйнштейна – с правой частью, где стоит плотность гравитирующей материи. Это уравнение представляет собой неоднородное (то есть с ненулевой правой частью) дифференциальное уравнение второго порядка. Как известно, его можно решить таким способом: взять однородное уравнение с нулевой правой частью (то есть уравнение Эйнштейна для пустоты!) и получить его решение, в которое войдут неизвестные постоянные интегрирования. Потом эти постоянные надо сделать неизвестными функциями, подставить такое решение в неоднородное уравнение, - и найти эти функции. Так поступали бы математики, но физики всегда срезают углы. Поэтому, получив решение уравнения Эйнштейна для пустоты, где фигурирует неизвестная константа, они просто сравнивают полученное решение с известным законом Ньютона и бодро говорят: а наша константа равна GM. Эта посторонняя дополнительная информация заменяет им возню с неоднородным уравнением. Но, повторюсь, если делать все честно, то для получения волновых или стационарных решений в пустоте вокруг гравитирующего тела, нужно использовать полное уравнение Эйнштейна - с плотностью. Как это сделали мы в статье в MNRAS, а значит и наша метрика должна удовлетворять полному уравнению Эйнштейна, а не его однородному варианту для пустоты.
Есть возражения или замечания? Это довольно простое соображение и наверняка в литературе уже присутствует – если дадите ссылку на такой источник, буду признателен.