Вносят ли гравитационные волны вклад в гравитационную массу?
И да, и нет. Как часто бывает, этот вопрос имеет два аспекта – дифференциальный и интегральный. Первый освещен в литературе хорошо, второй – заметно хуже, и так как эти вопросы очень важны для космологии, я подробно остановился на них в своей книге «Осциллирующая Вселенная» (https://bsa-analytics.prao.ru/links/nik/). Это тонкие моменты из самого сердца теории Эйнштейна, и я счел полезным еще раз обратиться к ним, благо сейчас, имея под рукой книгу, можно просто полагаться на цитаты из текста. Рассмотрим сначала более простой вопрос о дифференциальной массе.
1. Вклад гравитационных волн в локальную (дифференциальную) гравитационную массу.
Какую долю гравмассы они вносят в объем пространства, например, между Землей и Луной?
Ответ: нулевую. Локальной гравитационной массы гравволн нет, ее не существует: гравволны не входят в правую часть уравнений Эйнштейна. Это вопрос, который освещен классиками во всех деталях. Тем не менее, несмотря на свою простоту, он вызывает упорное сопротивление критиков. Например, в дискуссии, которая вспыхнула вокруг выхода моей с Тюльбашевым статьи в «Астрофизическом бюллетене» за 2021: https://moisav.livejournal.com/576527.html
Здесь опять возникли самоуверенные и голословные заявления о «технической ошибке» в наших работах. Судя по всему, речь идет о том, что неучет дифференциальной гравитационной массы считается «ошибкой»:
Профессор Штанов (из прошлых дискуссий): «Во-вторых, в Вашем вычислении не была учтена гравитация самого излучения, которое "уносит" энергию-массу источника. Это величина не просто того же порядка, они строго равны в силу закона сохранения энергии».
m61: «Проблема, еще раз повторю, в том, что вы никак не учитываете влияние "улетающей" части, она у вас просто испаряется бесследно (точнее, не бесследно — а до нужного момента, когда массу нужно, наоборот, нарастить). Так и с ракетой можно тогда поступить — у нее же масса тоже падает, а поведение газов, вылетающих из сопла, нас не интересует — они же уже не принадлежат ракете.»
Хм. Гениальный ученый Шредингер не только один из создателей квантовой механики, именно он в своей молодости (еще в 1918 году) показал, что величину, введенную Эйнштейном в качестве энергии гравитационного поля, можно превратить в ноль во всем пространстве простым выбором координатной системы (стр. 277 «Осциллирующей Вселенной»), чем вызвал дискуссию с Эйнштейном и другими учеными. То есть, это глубочайший знаток темы гравитационной энергии, который был в гуще событий с самого начала, и вот что он пишет почти сорок лет спустя о гравитационных волнах и о том, как они «уносят» энергию системы:
«Другой пример заключается в том, что энергия – и угловой момент – «уносится» из системы через пустое пространство ... с помощью гравитационных волн, излучаемых системой... Излученная энергия не обязана где бы то ни было проявляться в качестве T_4^4; но это может произойти и произойдет, когда эти волны натолкнутся на другую систему, способную частично поглотить их. Весь процесс имеет большое сходство с тем, что хорошо известно нам из классической теории испускания и поглощения электромагнитного излучения, за исключением того, что истинный тензор энергии T_k^i равен нулю внутри волн на всем протяжении их пути сквозь пустое пространство» («Пространственно-временная структура Вселенной», 1956). (стр. 301 «Осциллирующей Вселенной»).
Сравните с репликой m61 – очевидно, что его реплика полностью противоречит мнению Шредингера. Еще одна реплика m61 показывает, что он не понимает принципиальной разницы между э-м и гравитационным излучением:
m61: «можно рассмотреть обычное электромагнитное излучение звезд — и этот антигравитационный эффект уже можно было бы померить современными методами. Если бы он существовал».
Если обратиться к мнению Шредингера, то станет ясно, что у эм излучения есть истинный тензор энергии, а у гравволн – нет. Ее можно как-то нетензорно подсчитать, но включать ее в источники гравполя нельзя – как десятки раз на протяжении десятков лет заявлял Эйнштейн. То есть, у эм волн есть локальная гравитационная масса, а у граволны – ее нет. Это фундаментальное положение ОТО, которое повторено в множестве источников.
Например, обратимся к знаменитому учебнику по гравитации Ч. Мизнера, К. Торна и Дж. Уилера, Гравитация, 1977 (т.2): «Имеет смысл спрашивать о количестве электромагнитной энергии-импульса в элементе 3-объема. Во-первых, для этой величины имеется одна и только одна формула. Во-вторых, что более важно, эта энергия-импульс «имеет вес». Она искривляет пространство. Она служит источником, стоящим в правой части уравнений поля Эйнштейна. ...Она наблюдаема. «Локальная гравитационная энергия-импульс» не обладает ни одним из этих свойств. Для нее нет единственной формулы, а имеется множество различных формул. ...Более того, «локальная гравитационная энергия-импульс» не весит, не искривляет пространство, не служит источником, стоящим в правой части уравнений поля Эйнштейна, ... и не наблюдаема” (стр. 303-304).
И почему же наши критики делают вид, что отсутствие локальной (=ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ) гравитационной массы у гравитационных волн (и вообще у гравитационного поля) – это выдумка Горькавого?
Я думаю, что им так легче. То, что я – не авторитет для профессора Штанова, астронома m61 и др. – очевидно. Поэтому приписать мне эту идею столетней давности и отмахнуться от нее (и от меня) – очень удобно. Если же признать, что эта идея не моя, а видных гравитационистов – от Эйнштейна и Шредингера до Мизнера-Торна-Уилера – то увильнуть уже будет гораздо труднее. Если обвинить сразу целый класс специалистов, включая создателя ОТО, что они допустили «техническую ошибку» в своих расчетах – тут и самому можно прослыть ошибкой природы.
Перейдем к более сложному вопросу:
2. Вклад гравитационных волн в интегральную гравитационную массу.
Да, гравволны ВНОСЯТ вклад в интегральную гравитационную массу – тогда, когда их псевдоэнергия превращается в реальную энергию (и соответствующую массу). Посмотрим на цитату из Шредингера: «Излученная энергия не обязана где бы то ни было проявляться в качестве T_4^4; но это может произойти и произойдет, когда эти волны натолкнутся на другую систему, способную частично поглотить их».
То есть, если гравитационная волна наталкивается на материальную систему (например, на детектор гравитационных волн), то там выделяется реальная энергия – тепло и т.д. – которая увеличивает гравитационную массу системы. Обычно, это доля энергии невелика, но вопрос принципиальный. Ситуация становится предельной, когда граввоволна налетает на черную дыру (пусть она имеет размер заметно больший, чем длина волны налетевшего излучения). Такая гравволна ПОЛНОСТЬЮ отдает свою энергию дыре, увеличивая ее гравитационную массу на соответствующую величину.
Вот как описан вклад гравволн в интегральную и локальную/дифференциальную массу Вселенной в книге (стр. 158):
«Черная дыра обладает очень ограниченным набором характеристик, в первую очередь, массой. В каком-то смысле, именно поэтому она является идеальным детектором гравитационных волн, со 100%-ой эффективностью переводя всю псевдоэнергию гравволн в реальную энергию, вернее, в массу черной дыры. Здесь опять надо вспомнить о двух различных точках зрения – покоящегося и падающего наблюдателя. Рассмотрим черную дыру, на которую падает наблюдатель вместе с облаком гравитационных волн. С точки зрения внешнего покоящегося наблюдателя, облако гравитационных волн сожмется возле самой черной дыры в тонкий «блин», который прирастет к дыре и увеличит ее радиус, то есть массу. Падающий наблюдатель при этом будет проглочен растущей поверхностью черной дыры.
С точки зрения падающего наблюдателя, он сам и сопровождающее его облако гравитационных волн без помех проникнут внутрь черной дыры. Когда наблюдатель, попавший внутрь, попробует определить радиус черной дыры, в которую он влетел, то обнаружит, что этот радиус увеличился из-за количества псеведоэнергии, которую внесло в дыру облако гравитационных волн. То есть, это облако не будет генерировать локального гравитационного поля, но будет влиять на радиус внешней черной дыры. Это своеобразное проявление феномена «нелокализуемости» гравитационной псевдоэнергии, когда она действует интегрально, но не дифференциально (это отмечал еще А. Эйнштейн в 1918 году – см. Приложение I). В данном случае, этот феномен обусловлен тем, что гравитационная волна взаимодействует с уже существующей черной дырой, возникшей из обычной материи, потому что из одного гравитационного излучения черную дыру создать, видимо, нельзя.
Таким образом, Большая Черная Дыра растет, поглощая как обычное вещество, так и гравитационные волны, а для жителей этой дыры плотность гравитирующей среды внутри дыры зависит только от обычного вещества (хотя радиус внешней дыры учитывает наличие гравитационных волн)».
Надеюсь, что вышесказанное что-нибудь кому-нибудь прояснило :)
P.S. Ну вот, как дополнение к комменту профессора Штанова о святости закона сохранения энергии - статья Итана Зигеля от 2 мая, о том, как энергия Вселенной НЕ сохраняется: https://bigthink.com/starts-with-a-bang/expanding-universe-conserve-energy/
Я уж не говорю о квантовых инфляционистах, которые не разбираясь ни в каких тонкостях, заявляют, что энергия растущей Вселенной всегда равно нулю, потому что позитивная энергия материи СТРОГО уравновешивается отрицательной энергией гравполя! Поэтому Вселенная - бесплатный ланч. Это бесплатный плач, а не модель. Забили микроскопом гвозди - и пошли дальше, довольные и счастливые.
P.P.S. Если вы заметили опечатки или еще что в книге "Осциллирующая Вселенная", сообщите мне - - причем в течение этой недели, я как раз делаю новую редакцию. Вешайте прямо здесь, в этом посте, пусть и другие подтягиваются.
(выдержка из книги)
«Кутчера изучил два вида монопольных гравитационных волн: первый связан с прохождением мимо наблюдателя тонкого слоя гамма-квантов, вызванных вспышкой, после чего гравитационное притяжение падает до нуля (если первоначальный огненный шар состоял только из гамма-квантов), а второй вид монопольных волн вызван изменением давления в файрболе, из-за чего уменьшается его активная гравитационная масса (которую Кутчера назвал «Whittaker’s mass»).
В приближении слабого поля Кутчера вычислил пространственно-временную метрику для такого облака, задав переменность его массы в виде параметрической функции. Он рассматривал новую метрику как шварцшильдовскую метрику с возмущением из-за переменности массы. Метрика Кутчеры совпадала с метрикой Шварцшильда для случая слабого поля, с тем отличием, что постоянная масса в метрике Шварцшильда заменилась на переменную гравитационную массу. Возможность антигравитации в такой метрике Кутчерой не рассматривалась. Космология с переменной гравитационной массой, о необходимости которой говорил Ф. Андерсон, тоже не строилась.
Кутчера рассматривал оба вида гравитационных монопольных волн как равноправные, но мы полагаем, что они принципиально различны. Назовем, для определенности, первый вид монопольных волн, связанный с прохождением сферического слоя излучения, вызванного какой-то вспышкой, «виртуальной монопольной волной» или «вспышечной монопольной волной». Второй вид волн назовем «реальной монопольной гравитационной волной» или «волной Уиттекера» - она будет связана с уменьшением удаленной гравитационной массы без какого-либо прохождения квантов или другой материи возле наблюдателя. Только реальные монопольные волны второго вида могут вызывать антигравитацию или гипергравитацию – именно они описываются новым (вторым) членом в формуле гравитационного ускорения (3), а виртуальные волны первого рода описываются первым членом в правой части (3). Очевидно, что, даже при уменьшении массы до нуля, этот член описывает только притяжение. Разницу между двумя видами монопольных волн понять легко по следующему признаку. Реальные монопольные волны не привязаны к какому-либо веществу и распространяются всегда со скоростью света. Виртуальные волны всегда сопутствуют движению вещества или негравитационного излучения. Обратим внимание, что процесс уменьшения гравитационного притяжения до нуля происходит не только при прохождении возле наблюдателя оболочки из квантов излучения, двигающихся со скоростью света, но и при медленном движении оболочки из обычного вещества, например, газа. При этом, изменение массы внутри сферы, на поверхности которой находится наблюдатель, зависит от скорости прохождения оболочки и происходит без какого-либо запаздывания, так как наблюдатель находится в точке формального изменения массы, следовательно, изменение массы для него будет описываться более простой функцией M(t), куда скорость света не входит. Тем самым, «виртуальная монопольная волна» не является релятивистской и вообще волной – она привязана к материи (или излучению), которая ее порождает, и движется вместе с ней. Антигравитации здесь не будет, как и при уменьшении притяжения до нуля при падении наблюдателя к центру Земли.
В остальной части книги под монопольными гравитационными волнами мы будем подразумевать только реальные волны или волны Уитеккера.»
1. Вклад гравитационных волн в локальную (дифференциальную) гравитационную массу.
Какую долю гравмассы они вносят в объем пространства, например, между Землей и Луной?
Ответ: нулевую. Локальной гравитационной массы гравволн нет, ее не существует: гравволны не входят в правую часть уравнений Эйнштейна. Это вопрос, который освещен классиками во всех деталях. Тем не менее, несмотря на свою простоту, он вызывает упорное сопротивление критиков. Например, в дискуссии, которая вспыхнула вокруг выхода моей с Тюльбашевым статьи в «Астрофизическом бюллетене» за 2021: https://moisav.livejournal.com/576527.html
Здесь опять возникли самоуверенные и голословные заявления о «технической ошибке» в наших работах. Судя по всему, речь идет о том, что неучет дифференциальной гравитационной массы считается «ошибкой»:
Профессор Штанов (из прошлых дискуссий): «Во-вторых, в Вашем вычислении не была учтена гравитация самого излучения, которое "уносит" энергию-массу источника. Это величина не просто того же порядка, они строго равны в силу закона сохранения энергии».
m61: «Проблема, еще раз повторю, в том, что вы никак не учитываете влияние "улетающей" части, она у вас просто испаряется бесследно (точнее, не бесследно — а до нужного момента, когда массу нужно, наоборот, нарастить). Так и с ракетой можно тогда поступить — у нее же масса тоже падает, а поведение газов, вылетающих из сопла, нас не интересует — они же уже не принадлежат ракете.»
Хм. Гениальный ученый Шредингер не только один из создателей квантовой механики, именно он в своей молодости (еще в 1918 году) показал, что величину, введенную Эйнштейном в качестве энергии гравитационного поля, можно превратить в ноль во всем пространстве простым выбором координатной системы (стр. 277 «Осциллирующей Вселенной»), чем вызвал дискуссию с Эйнштейном и другими учеными. То есть, это глубочайший знаток темы гравитационной энергии, который был в гуще событий с самого начала, и вот что он пишет почти сорок лет спустя о гравитационных волнах и о том, как они «уносят» энергию системы:
«Другой пример заключается в том, что энергия – и угловой момент – «уносится» из системы через пустое пространство ... с помощью гравитационных волн, излучаемых системой... Излученная энергия не обязана где бы то ни было проявляться в качестве T_4^4; но это может произойти и произойдет, когда эти волны натолкнутся на другую систему, способную частично поглотить их. Весь процесс имеет большое сходство с тем, что хорошо известно нам из классической теории испускания и поглощения электромагнитного излучения, за исключением того, что истинный тензор энергии T_k^i равен нулю внутри волн на всем протяжении их пути сквозь пустое пространство» («Пространственно-временная структура Вселенной», 1956). (стр. 301 «Осциллирующей Вселенной»).
Сравните с репликой m61 – очевидно, что его реплика полностью противоречит мнению Шредингера. Еще одна реплика m61 показывает, что он не понимает принципиальной разницы между э-м и гравитационным излучением:
m61: «можно рассмотреть обычное электромагнитное излучение звезд — и этот антигравитационный эффект уже можно было бы померить современными методами. Если бы он существовал».
Если обратиться к мнению Шредингера, то станет ясно, что у эм излучения есть истинный тензор энергии, а у гравволн – нет. Ее можно как-то нетензорно подсчитать, но включать ее в источники гравполя нельзя – как десятки раз на протяжении десятков лет заявлял Эйнштейн. То есть, у эм волн есть локальная гравитационная масса, а у граволны – ее нет. Это фундаментальное положение ОТО, которое повторено в множестве источников.
Например, обратимся к знаменитому учебнику по гравитации Ч. Мизнера, К. Торна и Дж. Уилера, Гравитация, 1977 (т.2): «Имеет смысл спрашивать о количестве электромагнитной энергии-импульса в элементе 3-объема. Во-первых, для этой величины имеется одна и только одна формула. Во-вторых, что более важно, эта энергия-импульс «имеет вес». Она искривляет пространство. Она служит источником, стоящим в правой части уравнений поля Эйнштейна. ...Она наблюдаема. «Локальная гравитационная энергия-импульс» не обладает ни одним из этих свойств. Для нее нет единственной формулы, а имеется множество различных формул. ...Более того, «локальная гравитационная энергия-импульс» не весит, не искривляет пространство, не служит источником, стоящим в правой части уравнений поля Эйнштейна, ... и не наблюдаема” (стр. 303-304).
И почему же наши критики делают вид, что отсутствие локальной (=ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ) гравитационной массы у гравитационных волн (и вообще у гравитационного поля) – это выдумка Горькавого?
Я думаю, что им так легче. То, что я – не авторитет для профессора Штанова, астронома m61 и др. – очевидно. Поэтому приписать мне эту идею столетней давности и отмахнуться от нее (и от меня) – очень удобно. Если же признать, что эта идея не моя, а видных гравитационистов – от Эйнштейна и Шредингера до Мизнера-Торна-Уилера – то увильнуть уже будет гораздо труднее. Если обвинить сразу целый класс специалистов, включая создателя ОТО, что они допустили «техническую ошибку» в своих расчетах – тут и самому можно прослыть ошибкой природы.
Перейдем к более сложному вопросу:
2. Вклад гравитационных волн в интегральную гравитационную массу.
Да, гравволны ВНОСЯТ вклад в интегральную гравитационную массу – тогда, когда их псевдоэнергия превращается в реальную энергию (и соответствующую массу). Посмотрим на цитату из Шредингера: «Излученная энергия не обязана где бы то ни было проявляться в качестве T_4^4; но это может произойти и произойдет, когда эти волны натолкнутся на другую систему, способную частично поглотить их».
То есть, если гравитационная волна наталкивается на материальную систему (например, на детектор гравитационных волн), то там выделяется реальная энергия – тепло и т.д. – которая увеличивает гравитационную массу системы. Обычно, это доля энергии невелика, но вопрос принципиальный. Ситуация становится предельной, когда граввоволна налетает на черную дыру (пусть она имеет размер заметно больший, чем длина волны налетевшего излучения). Такая гравволна ПОЛНОСТЬЮ отдает свою энергию дыре, увеличивая ее гравитационную массу на соответствующую величину.
Вот как описан вклад гравволн в интегральную и локальную/дифференциальную массу Вселенной в книге (стр. 158):
«Черная дыра обладает очень ограниченным набором характеристик, в первую очередь, массой. В каком-то смысле, именно поэтому она является идеальным детектором гравитационных волн, со 100%-ой эффективностью переводя всю псевдоэнергию гравволн в реальную энергию, вернее, в массу черной дыры. Здесь опять надо вспомнить о двух различных точках зрения – покоящегося и падающего наблюдателя. Рассмотрим черную дыру, на которую падает наблюдатель вместе с облаком гравитационных волн. С точки зрения внешнего покоящегося наблюдателя, облако гравитационных волн сожмется возле самой черной дыры в тонкий «блин», который прирастет к дыре и увеличит ее радиус, то есть массу. Падающий наблюдатель при этом будет проглочен растущей поверхностью черной дыры.
С точки зрения падающего наблюдателя, он сам и сопровождающее его облако гравитационных волн без помех проникнут внутрь черной дыры. Когда наблюдатель, попавший внутрь, попробует определить радиус черной дыры, в которую он влетел, то обнаружит, что этот радиус увеличился из-за количества псеведоэнергии, которую внесло в дыру облако гравитационных волн. То есть, это облако не будет генерировать локального гравитационного поля, но будет влиять на радиус внешней черной дыры. Это своеобразное проявление феномена «нелокализуемости» гравитационной псевдоэнергии, когда она действует интегрально, но не дифференциально (это отмечал еще А. Эйнштейн в 1918 году – см. Приложение I). В данном случае, этот феномен обусловлен тем, что гравитационная волна взаимодействует с уже существующей черной дырой, возникшей из обычной материи, потому что из одного гравитационного излучения черную дыру создать, видимо, нельзя.
Таким образом, Большая Черная Дыра растет, поглощая как обычное вещество, так и гравитационные волны, а для жителей этой дыры плотность гравитирующей среды внутри дыры зависит только от обычного вещества (хотя радиус внешней дыры учитывает наличие гравитационных волн)».
Надеюсь, что вышесказанное что-нибудь кому-нибудь прояснило :)
P.S. Ну вот, как дополнение к комменту профессора Штанова о святости закона сохранения энергии - статья Итана Зигеля от 2 мая, о том, как энергия Вселенной НЕ сохраняется: https://bigthink.com/starts-with-a-bang/expanding-universe-conserve-energy/
Я уж не говорю о квантовых инфляционистах, которые не разбираясь ни в каких тонкостях, заявляют, что энергия растущей Вселенной всегда равно нулю, потому что позитивная энергия материи СТРОГО уравновешивается отрицательной энергией гравполя! Поэтому Вселенная - бесплатный ланч. Это бесплатный плач, а не модель. Забили микроскопом гвозди - и пошли дальше, довольные и счастливые.
P.P.S. Если вы заметили опечатки или еще что в книге "Осциллирующая Вселенная", сообщите мне - - причем в течение этой недели, я как раз делаю новую редакцию. Вешайте прямо здесь, в этом посте, пусть и другие подтягиваются.
(выдержка из книги)
«Кутчера изучил два вида монопольных гравитационных волн: первый связан с прохождением мимо наблюдателя тонкого слоя гамма-квантов, вызванных вспышкой, после чего гравитационное притяжение падает до нуля (если первоначальный огненный шар состоял только из гамма-квантов), а второй вид монопольных волн вызван изменением давления в файрболе, из-за чего уменьшается его активная гравитационная масса (которую Кутчера назвал «Whittaker’s mass»).
В приближении слабого поля Кутчера вычислил пространственно-временную метрику для такого облака, задав переменность его массы в виде параметрической функции. Он рассматривал новую метрику как шварцшильдовскую метрику с возмущением из-за переменности массы. Метрика Кутчеры совпадала с метрикой Шварцшильда для случая слабого поля, с тем отличием, что постоянная масса в метрике Шварцшильда заменилась на переменную гравитационную массу. Возможность антигравитации в такой метрике Кутчерой не рассматривалась. Космология с переменной гравитационной массой, о необходимости которой говорил Ф. Андерсон, тоже не строилась.
Кутчера рассматривал оба вида гравитационных монопольных волн как равноправные, но мы полагаем, что они принципиально различны. Назовем, для определенности, первый вид монопольных волн, связанный с прохождением сферического слоя излучения, вызванного какой-то вспышкой, «виртуальной монопольной волной» или «вспышечной монопольной волной». Второй вид волн назовем «реальной монопольной гравитационной волной» или «волной Уиттекера» - она будет связана с уменьшением удаленной гравитационной массы без какого-либо прохождения квантов или другой материи возле наблюдателя. Только реальные монопольные волны второго вида могут вызывать антигравитацию или гипергравитацию – именно они описываются новым (вторым) членом в формуле гравитационного ускорения (3), а виртуальные волны первого рода описываются первым членом в правой части (3). Очевидно, что, даже при уменьшении массы до нуля, этот член описывает только притяжение. Разницу между двумя видами монопольных волн понять легко по следующему признаку. Реальные монопольные волны не привязаны к какому-либо веществу и распространяются всегда со скоростью света. Виртуальные волны всегда сопутствуют движению вещества или негравитационного излучения. Обратим внимание, что процесс уменьшения гравитационного притяжения до нуля происходит не только при прохождении возле наблюдателя оболочки из квантов излучения, двигающихся со скоростью света, но и при медленном движении оболочки из обычного вещества, например, газа. При этом, изменение массы внутри сферы, на поверхности которой находится наблюдатель, зависит от скорости прохождения оболочки и происходит без какого-либо запаздывания, так как наблюдатель находится в точке формального изменения массы, следовательно, изменение массы для него будет описываться более простой функцией M(t), куда скорость света не входит. Тем самым, «виртуальная монопольная волна» не является релятивистской и вообще волной – она привязана к материи (или излучению), которая ее порождает, и движется вместе с ней. Антигравитации здесь не будет, как и при уменьшении притяжения до нуля при падении наблюдателя к центру Земли.
В остальной части книги под монопольными гравитационными волнами мы будем подразумевать только реальные волны или волны Уитеккера.»