Top.Mail.Ru
? ?
entries friends calendar profile Previous Previous Next Next
don_beaver
don_beaver
don_beaver
Волны и эхо
Вот вышли в "Науке и жизни" две мои научные сказки - про бактерии, замораживающие воду, (номер 11) и про лингвиста Кнорозова (номер 12). Де факто - популярные истории для детей. И что я вижу?

На сайте метеорологов вовсю обсуждается эта сказка. Оказывается, далеко не все специалисты знали, что бактерии играют важную роль в погоде:
http://meteoclub.ru/index.php?action=vthread&topic=3546&page=0#9

Грамота.ру сочла сказку о Кнорозове достойной перепечатки на своём весьма профессиональном сайте:
http://gramota.ru/biblio/magazines/nauka_i_zhizn/28_675
Элементы.ру - тут же:
http://elementy.ru/lib/431235
И "Известия науки" сочли эту сказку научным известием:
http://nauka.izvestia.ru/discovery/article104605.html

Интернет-газета "Око планеты" тоже перепечатала сказку о Кнорозове среди других научных новостей:
http://oko-planet.su/science/sciencediscussions/54754-skazka-o-russkom-lingviste-knorozove-rasshifrovavshem-pismennost-indeycev-mayya.html

Так как это издание стаскивает материалы отовсюду, то я нашёл там интересные статьи математика Арнольда и статью о нём. Вот вам пища для мозга:
http://oko-planet.su/science/sciencediscussions/52105-vi-arnold-antinauchnaya-revolyuciya-i-matematika.html
"Оказывается, распределение государств мира по первой цифре их площади крайне неравномерно. Страны, первая цифра площади которых равна единице, составляют примерно 30% общего их числа, а количество стран, первая цифра площади которых равна девяти, примерно в 6 раз меньше; доля стран, имеющих промежуточную между единицей и девяткой первую цифру площади, постепенно уменьшается. Данное распределение не зависит от единиц площади: ее можно измерять в квадратных километрах, в квадратных милях или в квадратных дюймах - результат получается таким же.
Неравномерное распределение первых цифр наблюдается и во многих других случаях. Например, первые цифры численности населения стран мира демонстрируют такую же закономерность. Она была открыта в 1881 г. С. Ньюкомом и в соответствии с принципом эпонимики названа эмпирическим законом Ф. Бенфорда. Вклад математики в объяснение этих довольно таинственных эмпирических закономерностей состоит в разработке идей эргодической теории динамических систем".
http://oko-planet.su/science/sciencediscussions/21686-rech-akademika-vi-arnolda-na-parlamentskix.html
"Этот план производит общее впечатление плана подготовки рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хозяев: этих рабов учат разве что основам языка хозяев, чтобы они могли понимать приказы".
http://oko-planet.su/science/sciencediscussions/39717-umer-matematik-vladimir-arnold.html

Tags:

15 comments or Leave a comment
Comments
aamonster From: aamonster Date: December 14th, 2010 05:45 pm (UTC) (Link)
А что, разве такое распределение по первой цифре не вполне очевидно для типичных распределений? И нужна какая-то специальная "эргодическая теория динамических систем" вместо того, чтобы взять распределение и посчитать несколько интегралов?
don_beaver From: don_beaver Date: December 14th, 2010 07:48 pm (UTC) (Link)
Согласно многовековым экспериментам, при бросании шестигранной кости, цифры от 1 до 6 выпадают с одинаковой вероятностью.
aamonster From: aamonster Date: December 14th, 2010 08:25 pm (UTC) (Link)
Ну да. Так что проблема - объяснить людям разницу между шестигранной костью (с равной вероятностью выпадения граней) и размером страны (какое там у нас распределение? Логнормальное?)

Довольно простая теория: есть распределение (можно обсуждать, откуда оно берётся, это интересная задачка... и тема с первыми цифрами поможет к этой задачке подвести), есть метод получения из него выборки первых цифр. А всё, что сверх того - нагромождение теорий.

Для нормального распределения, кстати, не получим такого цифрового артефакта: либо цифры будут равновероятны (если пик широкий), либо будет максимум на цифрах, соответствующих середине пика (если он узкий).
aamonster From: aamonster Date: December 14th, 2010 08:26 pm (UTC) (Link)
Да, и при разговоре про первые цифры я бы, наверное, вытащил логарифмическую линейку и показал на ней, что единице соответствует бОльший отрезок, чем другим цифрам.
don_beaver From: don_beaver Date: December 14th, 2010 09:30 pm (UTC) (Link)
"размером страны (какое там у нас распределение? Логнормальное?)"

Ну вот это-то самое интересное - с какого перепугу распределение стран по площади (или населению) укладывается в какой-то закон распределения?
aamonster From: aamonster Date: December 14th, 2010 09:51 pm (UTC) (Link)
Это да. Но тут сложно, да. Много разных факторов в модели, и логнормальное распределение вряд ли строго выдерживается.

Интересно сделать простенькую модель и погонять её на компе (например, мир поделен на N стран, с определённой вероятностью любые две сливаются или одна делится пополам).
From: 75dc287ea30b451 Date: December 15th, 2010 01:05 am (UTC) (Link)
"какое там у нас распределение? Логнормальное?"

Ципф там у нас. Примерно 1/x.

И кстати, поскольку распределение это "хвостатое", то есть с длинным и тяжелым хвостом, не убывающим по экспоненте, из него неопровержимо следует сушествование а-хре-ни-тельнейшего размера Галактической Империи, которую только такие дятлы, как мы, могут ухитриться не заметить. :)
the_lonley_dog From: the_lonley_dog Date: December 14th, 2010 07:06 pm (UTC) (Link)
По-моему, как раз недавно читал (в упор забыл где и когда!), что подобное случаю "с первыми цифрами" наблюдается в любой случайной выборке цифр. Даже как-то математически это объяснялось.. Как раз про Бенфорда там тоже что-то было.. Надо найти..
cronosecurity From: cronosecurity Date: December 14th, 2010 07:34 pm (UTC) (Link)
Только, ради бога, не в любой случайной выборке цифр!

Например, если мы выберем наудачу любое количество фрагментов числа "пи", начинающихся со случайных позиций и содержащих случайное количество цифр - ничего подобного, естественно, не обнаружим.

А вот в таблице логарифмов или в таблице умножения - пожалуйста!
From: (Anonymous) Date: December 15th, 2010 02:39 pm (UTC) (Link)
Про распределение ведущего разряда достаточно подробно написано у Кнута во втором томе "Искусства программирования" (4.2.4.B. Дробные части). Девять страниц с леммами, теоремами и доказательствами.

Ссылки на обзор литературы по этому вопросу, приведнные Кнутом:

Ralph A. Raimi, AMM 83 (1976), 521-538;
Peter Schatte, J. Information Processing and Cybernetics 24 (1988), 433-455.

Вот Ralph A. Raimi пишет на математическом форуме:

There is a "law" commonly called "Benford's Law" after Frank
Benford who wrote a paper (*The Law of Anomalous Numbers* was its title)
about it in 1938 (Proc. Am. Phil. Soc. vol 78, p551ff), with no indication
that it was not original with him. Many other papers about this "first
digit phenomenon" appeared in later years, usually naming it after
Benford, but it had in fact been announced and discussed by Simon Newcomb
sixty-seven years earlier (Amer. J. Math vol 4, 1881, p39-40). When I
wrote a history of the attempts at proving this law (*The First Digit
Phenomenon*, Amer. Math. Monthly vol 83, 1976, pp 521-538) I had the
pleasure not only of announcing for the first time in print, so far as I
knew, that it had been anticipated by Newcomb, but of comparing Benford's
Law with an alternate, though similar one I dubbed "Stigler's Law", which
was a slightly different proposed frequency distribution of first digits
in the tables of data that have reason to exhibit the phenomenon in
question.

However, the Stigler I referred to was apparently the real author
of that "law", or at least he was the one who had written me about it
(privately), explaining it had been the result of a lunch table
conversation between himself and other members of a certain group of
wartime statistical analysts of military efficiency in 1944, the actual
calculation having been made by Stigler himself after the lunch was over.
This 1944 Stigler was the famous economist George Stigler (Nobel Laureate
in later years), the father of the statistician Stephen Stigler whose
Law of Eponymy is the subject of the exchange I reproduce below.

http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=382677&messageID=1179783

Сергей
don_beaver From: don_beaver Date: December 16th, 2010 11:45 pm (UTC) (Link)
Вижу, что в логарифмическую линеечку вся тема не укладывается.
Кнута под рукой нет (ой, соврал, обернулся - а он тут как тут). Но 9 страниц теорем сейчас не по времени. А если кратко, то в чем суть/происхождение феномена?
From: (Anonymous) Date: December 17th, 2010 03:58 pm (UTC) (Link)
Николай, вкратце там вначале есть рассуждение, посмотрите абзац с формулой (1) из 4.2.4:

"Давайте внимательно посмотрим, как записываются числа в формате с плавающей точкой. Если взять произвольное положительное число u..."

Сложно переписывать из книги, там и формулы ведь (хоть и немного).

Суть там в ожидаемой равномерности (близости к равномерному) распределения log10(U) mod 1 для случайного числа U, выбранного из совокупности, которая существует в природе. (Аналогично ожидаемой равномерности U mod 1, U^2 mod 1 и т.д.)

Дробная часть произвольного числа u определяется по формуле 10fu (это мантисса нормализованного числа, умноженная на 10) = 10^(log10(u) mod 1).

Следовательно, ведущий разряд дробной части будет меньше, чем d тогда и только тогда, когда (log10(u))mod 1 < log10(d) - это формула (1).

Дальше по тексту там сразу же есть ещё одно рассуждение, чуть детальнее ("Интересный подход к анализу значений ведущих разрядов был предложен Р. Хэммингом..." и дальше, там пара абзацев с формулами (2) и (3)).

Сергей
grave__digger From: grave__digger Date: December 20th, 2010 06:51 am (UTC) (Link)
А у меня замечание по "сказке" про Кнорозова. Не мог Юрий Валентинович "в самой середине ХХ века" жить в Петербурге - он жил в Ленинграде. :)
don_beaver From: don_beaver Date: December 20th, 2010 10:30 pm (UTC) (Link)
В научной сказке - мог!
(Deleted comment)
15 comments or Leave a comment